מתן בראשי תוצר מחלקת הנוער של בית"ר ירושלים. השחקן יליד 1988 נכלל ב"קבוצת הפלא" של שנתון 1988 שזכתה בקבוצת נערים ג’ בגביע ובנעים א’ באליפות. הבסיס של אותו שנתון זכה עונה לאחר מכן באליפות ובעונה הבאה בדאבל הראשון של קבוצת הנוער.
בעונת 2004-2005 זכה בראשי עם קבוצת נערים א’ באליפות המדינה בשלד של הקבוצה שתזכה לאחר מכן בדאבל. עונה לאחר מכן בשנתו הראשונה בקבוצת הנוער זכה בראשי בגביע המדינה והפך לשחקן משמעותי בקבוצה.
עונת 2006-2007 הייתה עונת הדאבל ההיסטורית של קבוצת הנוער. בראשי וחבריו נתנו את העונה הטובה ביותר שלהם וסיימו אותה גם עם גביע וגם עם אליפות קלה. בתום אותה עונה סומן בראשי כאחד השחקנים המצטיינים של אותה עונה.
בעונת 2007-2008 בזמן שיתר חבריו לקבוצת הנוער החלו לנדוד בקבוצות אחרות, החליט בראשי להישאר עונה שלישית בקבוצת הנוער של בית"ר ירושלים אותה אימן אז גיא עזורי. בראשי שהיה אחד השחקנים הבודדים שנותרו מהזכייה בדאבל, הוביל את הקבוצה לזכייה באליפות ובתום העונה נבחר לשחקן המצטיין של הקבוצה.
עונת 2008-2009 הייתה העונה הראשונה של מתן בראשי בקבוצה הבוגרת. במהלך אותה עונה השתלב בראשי במספר משחקים במסגרת גביע הטוטו, אך לא רשם הופעות ליגה בקבוצה הבוגרת.
עונה לאחר מכן עבר הבלם בהשאלה להפועל ירושלים מהליגה הלאומית, בה הפך לשחקן הרכב, רשם 26 שערים אך לא הצליח לעזור ליריבה העירונית להישאר בליגה, בתום העונה נשרה הפועל ירושלים לליגה א’ ובראשי חזר לקבוצת האם – בית"ר ירושלים.
בקיץ 2010 חזר בראשי לאחר עונת השאלה ויצא עם הקבוצה למחנה אימונים בגרמניה. שבוע לאחר חזרת הקבוצה לישראל, חתם השחקן על חוזה לשלוש עונות בבית"ר ירושלים.
