אלי דסה יליד ראשון לציון, החל את הקריירה במכבי תל אביב בה שיחק בקבוצות מחלקות הנוער עד גיל נערים ג’.
כשהיה בן 14 במסגרת קבוצת נערים ג’ של מכבי תל אביב, שיחק בחצי גמר גביע המדינה מול הפועל תל אביב במשחק בו צפה הסקאוט איתן מזרחי שסימן את השחקן. מספר חודשים לאחר מכן עבר לאקדמיה של מכבי חיפה לאחר שנכנס להסגר קטין, עוד לפני שנרשם במכבי חיפה, עבר השחקן לבית"ר ירושלים והצטרף לאקדמיה של המועדון.
בגיל 16 וחצי הוקפץ המגן לקבוצת הנוער ע"י המאמן איתן מזרחי ששנתים קודם לכן הפעיל את כל הלחצים על מנת להנחית את השחקן בבית"ר ירושלים. לאחר עונה אחת בקבוצת הנוער, הוקפץ דסה לקבוצה הבוגרת של בית"ר ירושלים.
בקיץ 2010 ייצא אלי דסה עם הקבוצה הבוגרת של בית"ר ירושלים למחנה האימונים בגרמניה. כשהוא בן 17 וחצי בלבד, הפך דסה להפתעת מחנה האימונים ושבועיים לאחר מכן ערך את הופעת הבכורה שלו במדי הקבוצה הבוגרת של בית"ר ירושלים במשחק גביע הטוטו מול הפועל אשקלון.
