ברק משה תוצר מחלקת הנוער של בית"ר ירושלים ושחקן האקדמיה של בית"ר ירושלים. בפתיחת עונת 2008-2009 כשהיה בן 17 וחצי זומן לסגל הקבוצה הבוגרת במקביל להשתייכותו לקבוצת הנוער של המועדון. את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת ערך בעונת 2009-2008 במשחק הליגה הביתי מול מ.ס אשדוד.

את עונת 2009-2010 פתח בסגל הקבוצה הבוגרת ואף ערך הופעת בכורה בהרכב במחזור ה-13 מול הפועל רעננה, אך לאחר המשחק חזר לחזק את קבוצת הנוער שהגיעה עד לשלב גמר גביע המדינה. בעונה זאת אף חתם על חוזה לחמש עונות בבית"ר ירושלים.

כתוצר האקדמיה של בית"ר ירושלים, נחשב ברק משה לאחד השחקנים המבטיחים של המועדון. משה נמנה בסגל נבחרת הנוער ומחזיק בתפקיד הקפטן של הנבחרת. תפקודיו על המגרש מגוונים וכוללים בין היתר את עמדת הקשר האחורי ועמדות התקפיות יותר.