שמואל קוזוקין החל את דרכו המקצועית בגיל מאוחר יחסית. בגיל 4 הוא עלה לארץ מרוסיה ועד גיל 9 שיחק כדורגל שכונות במגרשי בית שמש. בגיל 10 נרשם הכישרון הצעיר לבית הספר לכדורגל של עמוס מימוני ושיחק תחת הדרכתו של המאמן עמי כהן. המאמן הופתע מעט ממבנה גופו החסון של הילד והחליט להציבו כקשר אחורי ושמאלי. כעבור עונה אחת התגלתה היכולת ההגנתית האגרסיבית של קוזוקין והוא הוסט לעמדת המגן השמאלי. בארבע עונות בבית שמש הוא זכה בשתי אליפויות. יחד איתו שיחק בקבוצה שחקן בשם עומרי ג'אמו, אביו גרשון ג'אמו התלהב מקוזוקין ושוחח עם מאמן נערים א' בבית"ר ירושלים והמליץ לו בחום לקחת את המגן הצעיר.
קוזוקין בן ה-14 נחת בבית"ר אך עקב בעיות במערכת הקבוצה וריבוי הפרוטקציות החליט קוזוקין שלא להישאר וחזר לבית שמש. סרגיי טרטיאק חשש לאבד את הכישרון העולה והחזיר אותו לנערים א' בבית"ר ירושלים שם שיחק תחת טרטיאק וסוני לוי. באותה עונה לקח אותו המאמן מיקי סנדור לקבוצת הנוער, איתה הגיע לחצי גמר הגביע מול בני יהודה שם כבש שער מרהיב מ-60 מטרים.
לאחר מכן שיחק תחת הדרכתו של אילן שוקרון וזכה עם קבוצת הנוער בגביע המדינה. את העונה שלאחר מכן פתח עם הכוח עמידר ר"ג אך עקב קשיים שהערימו עליו מפקדיו בצבא לא יכול להגיע לאימונים באופן סדיר ושוחרר מהקבוצה. למרות מספר הצעות מליגת העל והלאומית החליט קוזוקין לשוב הביתה וחזר לקדנציה נוספת בקבוצת הנוער איתה לקח דאבל היסטורי ונבחר לשחקן המצטיין בסיום העונה.
למרות ההצעות הרבות והבלתי פוסקות החליט שמואל קוזוקין לפתוח את עונת 07/08 בבית"ר ירושלים. בתקווה שהיכולת תזכה אותו בהזדמנויות להוכיח מה הוא שווה. "בית"ר זה הבית. כאן אני רוצה להישאר", אמר לא אחת.
קוזוקין שחקן הגנה גבוה וחסון. למרות תפקודו כבלם ומגן שמאלי לא הרבה יודעים כי למעשה רגל ימין היא רגלו החזקה. קוזוקין ניחן במהירות וטכניקה גבוהה, שליטה מצוינת בשתי הרגלים, ראיית משחק מושלמת וניהול חכם של המשחק מאחור. קוזוקין משמש הן כבלם עוצמתי ודומיננטי והן כמגן שמאלי מהיר והתקפי. המהירות שלו והחוסן הגופני גורמים לא אחת לתסכול מצד יריביו. אחד ממאפייניו הרבים הוא משחק הכדורגל השקט. למרות רוחו הלוחמנית על המגרש הוא משחק כדורגל פשוט ורגוע. קור רוח כמו שלו יש לטובי הבלמים באירופה. נוכח כישרונו הגדול והעבודה הרבה שהוא משקיע שמואל קוזוקין בהחלט בדרך הנכונה לשם. השחקן הנערץ עליו ביותר הוא פאולו מאלדיני האיטלקי. בבית"ר ירושלים נולד מאלדיני החדש – שמואל קוזוקין.
